Comportement global d'une suite - Spécialité
Raisonnement par récurrence
Exercice 1 : Variations d'une suite (définie par récurrence - nécessite la démonstration par récurrence)
Soit la suite \[ (u_n): \begin{cases} u_0 = -10 \\ u_{n+1} = -3 + \dfrac{1}{6}u_n \end{cases} \]
Exprimer \( u_{n+1} - u_n \) en fonction de \( u_n \).
On peut démontrer par récurrence que \( u_n \leq - \dfrac{18}{5} \).
On peut alors en déduire que :
On peut alors en déduire que :
Exercice 2 : Démontrer par récurrence 2n > n
Démontrer par récurrence que
\[ \text{Pour tout n dans } \mathbb{N}, 2^n \gt n \]
Exercice 3 : Démontrer par récurrence (initiation)
Démontrer par récurrence que
\[ \text{Pour tout n dans } \mathbb{N}, n + 1 \gt n \]
Exercice 4 : Variations d'une suite (définie par récurrence - nécessite la démonstration par récurrence)
Soit la suite \[ (u_n): \begin{cases} u_0 = 8 \\ u_{n+1} = 5 + 8u_n \end{cases} \]
Exprimer \( u_{n+1} - u_n \) en fonction de \( u_n \).
On peut démontrer par récurrence que \( u_n \geq - \dfrac{5}{7} \).
On peut alors en déduire que :
On peut alors en déduire que :
Exercice 5 : Démontrer par récurrence 2n > n
Démontrer par récurrence que
\[ \text{Pour tout n dans } \mathbb{N}, 2^n \gt n \]